Sepuluh soal pilihan OSN dengan diagram interaktif, jebakan konsep, dan pembahasan super detail. Klik tombol untuk membuka pembahasan.
Seorang pengamat melihat sebuah koin di dasar kolam berisi air. Pengamat melihat koin dari arah miring dengan sudut bias (dari normal) tepat \(i = 60°\). Kedalaman sebenarnya koin \(d = 180\text{ cm}\).
| \(n_{\text{udara}}\) | 1 |
| \(n_{\text{air}}\) | 4/3 |
| \(i\) (sudut di udara) | 60° |
| \(d\) (kedalaman nyata) | 180 cm |
Rumus "hafalan" \(d' = d \cdot n_2/n_1\) hanya berlaku untuk pengamatan tegak lurus (sudut kecil). Untuk pandangan miring, rumus ini salah karena aproksimasi paraksial (sin ≈ tan ≈ θ) tidak valid. Harus pakai geometri penuh dengan Snell!
Tentukan sudut datang \(r\) di dalam air dengan hukum Snell:
$$n_1 \sin i = n_2 \sin r$$ $$1 \cdot \sin 60° = \frac{4}{3} \sin r \quad\Rightarrow\quad \sin r = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$$ $$\sin r \approx 0{,}6495 \quad\Rightarrow\quad r \approx 40{,}50°$$Geometri: Misalkan titik bias di permukaan air adalah \(P\), koin di titik \(K\), bayangan semu di titik \(K'\). Jarak horizontal dari \(P\) ke bagian tepat di atas koin sama untuk sinar nyata maupun perpanjangannya (karena sinar bias nampak lurus dari mata):
Jarak horizontal \(x = d \tan r\) (dari geometri segitiga nyata di dalam air).
Perpanjangan sinar di udara (dari \(P\) ke \(K'\)) membuat sudut \(i\) dengan normal. Dari geometri yang sama:
$$x = d' \tan i$$Karena \(x\) sama:
$$d \tan r = d' \tan i \quad\Rightarrow\quad d' = d \cdot \frac{\tan r}{\tan i}$$Hitung nilai numerik:
$$\cos r = \sqrt{1 - \sin^2 r} = \sqrt{1 - \frac{27}{64}} = \sqrt{\frac{37}{64}} = \frac{\sqrt{37}}{8}$$ $$\tan r = \frac{\sin r}{\cos r} = \frac{3\sqrt{3}/8}{\sqrt{37}/8} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{37}} \approx \frac{5{,}196}{6{,}083} \approx 0{,}8541$$ $$\tan 60° = \sqrt{3} \approx 1{,}7321$$Substitusi:
$$d' = 180 \cdot \frac{0{,}8541}{1{,}7321} = 180 \cdot 0{,}4931 \approx 88{,}76\text{ cm}$$Mengapa 135 cm salah? Nilai \(135 = 180 \cdot 3/4\) berasal dari rumus paraksial \(d' = d \cdot n_1/n_2\). Rumus tersebut adalah limit dari \(d' = d \tan r / \tan i\) saat \(i, r \to 0\) (karena \(\tan\theta \to \sin\theta\)). Pada sudut \(60°\), koreksi geometri membuat kedalaman semu jauh lebih dangkal dari rumus paraksial.
Insight: Semakin miring pandangan (i mendekati sudut kritis), semakin dangkal posisi bayangan — ini sebabnya ikan di kolam terlihat "dekat permukaan" dari sudut ekstrem. Pada \(i \to 48{,}6°\) (sudut kritis), \(r \to 90°\), bayangan melompat menjadi tak terdefinisi (TIR untuk arah balik).
Sebuah prisma segitiga sama sisi (sudut puncak \(A = 60°\)) dengan indeks bias \(n = \sqrt{2}\) berada di udara. Sinar monokromatik dijatuhkan pada salah satu sisi dan mengalami deviasi minimum.
| \(A\) (sudut puncak) | 60° |
| \(n\) (prisma) | \(\sqrt{2}\) |
| \(n_{\text{udara}}\) | 1 |
Banyak siswa langsung memakai rumus \(D_{\min} = (n-1)A\). Hati-hati! Rumus tersebut hanya berlaku untuk prisma tipis (A kecil, sudut kecil). Untuk \(A = 60°\), harus pakai rumus lengkap \(\sin\frac{A+D_{\min}}{2} = n \sin\frac{A}{2}\).
Sifat deviasi minimum: sinar melewati prisma secara simetris, artinya:
$$i_1 = i_2 \equiv i \quad\text{dan}\quad r_1 = r_2 \equiv r$$Dari geometri prisma: \(r_1 + r_2 = A \Rightarrow 2r = A \Rightarrow r = A/2 = 30°\).
Hukum Snell di sisi masuk:
$$1 \cdot \sin i = n \sin r = \sqrt{2} \cdot \sin 30° = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin i = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad\Rightarrow\quad i = 45°$$Hubungan deviasi minimum:
$$D_{\min} = 2i - A = 2(45°) - 60° = 30°$$Verifikasi dengan rumus standar: \(\sin\frac{A+D_{\min}}{2} = n \sin\frac{A}{2}\) → \(\sin\frac{60+30}{2} = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\) dan \(n \sin 30° = \sqrt{2} \cdot 0{,}5 = \frac{\sqrt{2}}{2}\). ✓ Konsisten.
Bandingkan dengan rumus salah \((n-1)A\):
$$D_{\text{salah}} = (\sqrt{2}-1) \cdot 60° \approx 0{,}414 \times 60° \approx 24{,}85°$$Selisih sekitar \(5°\) — cukup signifikan! Ini mengonfirmasi pentingnya menggunakan rumus lengkap untuk prisma non-tipis.
Insight: Simetri pada deviasi minimum adalah konsekuensi prinsip Fermat (jalur waktu minimum). Secara umum \(D(i)\) adalah fungsi asimetris, tetapi turunan \(dD/di = 0\) terjadi tepat saat sinar simetris. Fakta geometris ini menyederhanakan perhitungan secara drastis.
Sebuah serat optik dengan core berindeks bias \(n_1 = 1{,}50\) dikelilingi oleh cladding berindeks bias \(n_2 = 1{,}45\). Sinar masuk dari udara \((n_0 = 1)\) ke ujung serat dengan sudut \(\theta\) terhadap sumbu serat.
| \(n_0\) | 1,00 |
| \(n_1\) (core) | 1,50 |
| \(n_2\) (cladding) | 1,45 |
Banyak siswa hanya menghitung sudut kritis di dalam core (\(\sin\theta_c = n_2/n_1\)) dan menyamakannya dengan sudut terima. Salah! Sudut di dalam serat diukur dari normal dinding (tegak lurus sumbu), sedangkan sudut terima \(\theta_m\) di udara diukur dari sumbu. Keduanya saling komplemen, bukan sama!
Sudut kritis di antarmuka core-cladding (TIR):
$$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1{,}45}{1{,}50} = 0{,}9667$$ $$\theta_c = \arcsin(0{,}9667) \approx 75{,}16°$$Artinya sinar dalam core harus datang ke dinding dengan sudut \(\geq 75{,}16°\) (diukur dari normal dinding) agar TIR terjadi.
Relasi geometri: Jika sudut bias sinar dalam core terhadap sumbu adalah \(\alpha\), maka sudut terhadap normal dinding adalah \((90°-\alpha)\). Agar TIR:
$$90° - \alpha \geq \theta_c \quad\Rightarrow\quad \alpha \leq 90° - \theta_c$$ $$\alpha_{\max} = 90° - 75{,}16° = 14{,}84°$$Gunakan identitas kunci:
$$\sin\alpha_{\max} = \sin(90° - \theta_c) = \cos\theta_c = \sqrt{1 - \sin^2\theta_c} = \sqrt{1 - (n_2/n_1)^2}$$ $$\sin\alpha_{\max} = \sqrt{1 - (1{,}45/1{,}50)^2} = \sqrt{1 - 0{,}9344} = \sqrt{0{,}0656} \approx 0{,}2561$$Snell di ujung serat (udara → core):
$$n_0 \sin\theta_m = n_1 \sin\alpha_{\max}$$ $$1 \cdot \sin\theta_m = 1{,}50 \times 0{,}2561 = 0{,}3842$$ $$\theta_m = \arcsin(0{,}3842) \approx 22{,}6°$$Numerical Aperture (NA) — bentuk eksak:
$$\text{NA} = \sin\theta_m = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$$ $$\text{NA} = \sqrt{1{,}50^2 - 1{,}45^2} = \sqrt{2{,}25 - 2{,}1025} = \sqrt{0{,}1475} \approx 0{,}3841$$Verifikasi: sama dengan \(\sin\theta_m\) di atas ✓.
Insight: Rumus ringkas NA \(= \sqrt{n_1^2 - n_2^2}\) muncul karena dua Snell berturutan + identitas \(\sin^2 + \cos^2 = 1\). Inilah alasan mengapa serat optik dengan \(n_1 - n_2\) kecil tetap berguna: selama \(n_1 > n_2\), TIR selalu mungkin, tapi sudut terima menjadi kecil (NA rendah). Serat telekomunikasi modern sengaja didesain dengan NA kecil agar dispersi modal berkurang dan transmisi lebih jauh.
Sebuah lensa tipis dari kaca \((n_L = 1{,}5)\) memiliki fokus \(f = 10\text{ cm}\) di udara. Lensa ini kemudian dicelupkan seluruhnya ke dalam air \((n_{\text{air}} = 4/3)\). Lensa berbentuk bikonveks dengan kedua jari-jari permukaan sama besar (simetris).
| \(n_L\) (kaca) | 1,5 |
| \(n_{\text{air}}\) | 4/3 |
| \(f_{\text{udara}}\) | 10 cm |
Banyak siswa memakai \(f' = f \cdot n_{\text{air}}/n_{\text{udara}} = 10 \cdot 4/3 = 13{,}3\text{ cm}\). Salah besar! Yang berubah bukan indeks medium absolut, melainkan indeks bias relatif antara lensa dan medium. Lensa bekerja karena \(n_L \neq n_{\text{medium}}\) — mengecilkan selisihnya akan memperbesar \(f\) secara dramatis.
Persamaan pembuat lensa (Lensmaker's equation) dalam medium \(n_m\):
$$\frac{1}{f} = \left(\frac{n_L}{n_m} - 1\right)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$Faktor \((1/R_1 - 1/R_2)\) hanya bergantung pada geometri lensa, jadi konstan saat lensa dipindah medium.
Di udara \((n_m = 1)\):
$$\frac{1}{f} = (n_L - 1) \cdot K \quad\text{dengan}\quad K = \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}$$ $$K = \frac{1}{f(n_L - 1)} = \frac{1}{10(1{,}5 - 1)} = \frac{1}{5}\text{ cm}^{-1}$$Di air \((n_m = 4/3)\):
$$\frac{1}{f'} = \left(\frac{n_L}{n_m} - 1\right) K = \left(\frac{1{,}5}{4/3} - 1\right) \cdot \frac{1}{5}$$ $$\frac{n_L}{n_m} = \frac{1{,}5 \times 3}{4} = \frac{4{,}5}{4} = \frac{9}{8} = 1{,}125$$ $$\frac{1}{f'} = (1{,}125 - 1) \cdot \frac{1}{5} = 0{,}125 \times 0{,}2 = 0{,}025\text{ cm}^{-1}$$Fokus baru:
$$f' = \frac{1}{0{,}025} = 40\text{ cm}$$Rasio \(f'/f = 40/10 = 4\) — lensa menjadi 4× lebih lemah!
Rumus cepat (eksak):
$$\frac{f'}{f} = \frac{n_L - 1}{(n_L/n_m) - 1} = \frac{(n_L - 1) \cdot n_m}{n_L - n_m}$$ $$\frac{f'}{f} = \frac{(1{,}5 - 1)(4/3)}{1{,}5 - 4/3} = \frac{0{,}5 \times 4/3}{1/6} = \frac{2/3}{1/6} = 4$$ $$f' = 4 \times 10 = 40\text{ cm} \quad\checkmark$$Kasus ekstrem sebagai cek: Jika \(n_m = n_L = 1{,}5\), maka \(n_L/n_m = 1\) dan \(1/f' = 0 \Rightarrow f' = \infty\) — lensa "lenyap" dalam medium dengan indeks sama. Ini adalah alasan lensa kaca "menghilang" saat dicelupkan ke minyak dengan indeks yang sama (fenomena klasik).
Insight: Yang membuat lensa "bekerja" adalah kontras indeks bias \(n_L - n_m\), bukan \(n_L\) sendiri. Di air, kontras \(1{,}5 - 4/3 = 1/6\) jauh lebih kecil daripada kontras di udara \(1{,}5 - 1 = 1/2\) — tiga kali lipat. Ditambah faktor \(n_m\) pada pembilang, rasio total jadi 4×. Inilah mengapa Anda tidak bisa melihat jelas dengan mata telanjang di bawah air — kornea mata hampir sama indeksnya dengan air, sehingga kehilangan daya biasnya!
Sebuah benda \(O\) diletakkan 20 cm di depan lensa konvergen \(L\) berfokus \(f = +15\text{ cm}\). Pada jarak 40 cm di belakang lensa terdapat cermin datar \(M\) yang tegak lurus sumbu. Cahaya yang dipantulkan cermin melewati lensa lagi ke arah semula.
| Jarak benda ke lensa | 20 cm |
| Fokus lensa | +15 cm |
| Jarak lensa ke cermin | 40 cm |
Kesalahan tipikal: (1) lupa cahaya melewati lensa dua kali, (2) bingung tanda \(s\) untuk sinar balik setelah pantul cermin, (3) menganggap cermin datar "tidak mengubah apa-apa" padahal ia membalik arah propagasi. Konvensi yang konsisten adalah kunci!
TAHAP 1 — Bayangan oleh lensa (sinar ke kanan): Benda di \(s_1 = 20\text{ cm}\) di depan lensa.
$$\frac{1}{s_1} + \frac{1}{s'_1} = \frac{1}{f} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{20} + \frac{1}{s'_1} = \frac{1}{15}$$ $$\frac{1}{s'_1} = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4-3}{60} = \frac{1}{60}$$ $$s'_1 = 60\text{ cm}\text{ (di kanan lensa, nyata)}$$Perbesaran: \(M_1 = -s'_1/s_1 = -60/20 = -3\) (terbalik, 3× lebih besar).
Lokasi bayangan I₁ relatif terhadap cermin: Cermin berada 40 cm di kanan lensa, tetapi bayangan I₁ berada 60 cm di kanan lensa. Artinya I₁ berada 20 cm di belakang cermin — I₁ berperan sebagai objek maya untuk cermin!
Ini jebakan utamanya. Cahaya menuju titik 20 cm di belakang cermin, tapi tertahan duluan oleh cermin pada jarak 40 cm.
TAHAP 2 — Pemantulan oleh cermin datar: Cermin datar memantulkan objek (entah nyata di depan atau maya di belakang) dengan jarak sama di sisi berlawanan.
Objek maya 20 cm di belakang cermin → Bayangan I₂ = 20 cm di depan cermin (nyata, sisi lensa).
Lokasi I₂: 40 − 20 = 20 cm di kanan lensa. Perbesaran cermin datar: \(M_2 = +1\) (tegak, sama besar).
TAHAP 3 — Bayangan oleh lensa (sinar balik, ke kiri): Sekarang I₂ berperan sebagai benda untuk lensa, berada 20 cm di sisi kanan lensa. Karena cahaya kini bergerak ke kiri, I₂ di sisi asal cahaya → ini benda nyata dengan \(s_3 = 20\text{ cm}\).
$$\frac{1}{20} + \frac{1}{s'_3} = \frac{1}{15} \quad\Rightarrow\quad s'_3 = 60\text{ cm}$$Bayangan akhir: 60 cm di kiri lensa (di sisi benda asli). Perbesaran tahap 3: \(M_3 = -60/20 = -3\).
Perbesaran total sistem:
$$M_{\text{total}} = M_1 \times M_2 \times M_3 = (-3)(+1)(-3) = +9$$Positif → bayangan akhir tegak (relatif terhadap benda asli). Nilai 9 → 9× lebih besar.
Kesimpulan: Bayangan akhir berada 60 cm di depan lensa (sisi benda asli, 40 cm lebih jauh dari benda asli), bersifat nyata, tegak, diperbesar 9×.
Catatan: "Nyata" di sini berarti cahaya sungguh-sungguh berkumpul di titik tersebut; bisa ditangkap layar. "Tegak" karena dua inversi (lensa → lensa) saling membatalkan.
Insight: Sistem lensa + cermin datar ekuivalen dengan lensa tipis yang dilewati dua kali — secara efektif menjadi lensa dengan daya dua kali lipat (\(P_{\text{eff}} = 2/f\)) jika cermin tepat di titik fokus. Di sini cermin tidak di fokus, jadi perhitungan runtut tiga tahap tetap perlu. Konfigurasi ini dipakai di teleskop cat's-eye retroreflector dan beberapa instrumen pembalik gambar.
Sebuah benda diletakkan tepat di titik fokus cermin cekung dengan jari-jari kelengkungan \(R = 40\text{ cm}\). Kemudian benda digeser sejauh \(\Delta s = 1\text{ mm}\) menjauh dari cermin.
| \(R\) | 40 cm |
| \(f = R/2\) | 20 cm |
| \(s_1\) | 20,0 cm (di F) |
| \(s_2\) | 20,01 cm (setelah digeser) |
Menjawab "bayangan di tak hingga, perbesaran tak hingga" terdengar benar tetapi tidak lengkap. Arti fisisnya: sinar pantul sejajar, tidak pernah berpotongan — "bayangan" nyata tidak terbentuk di titik manapun yang terukur. Pergeseran sangat kecil mengungkap sensitivitas ekstrim sistem di dekat singularitas fokus.
Kasus A: \(s = f = 20\text{ cm}\). Persamaan cermin:
$$\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{20} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{20}$$ $$\frac{1}{s'} = 0 \quad\Rightarrow\quad s' \to \infty$$Perbesaran: \(M = -s'/s \to \infty\). Bayangan tidak terbentuk di titik berhingga — sinar pantul sejajar. Inilah prinsip kerja proyektor/senter (sumber di fokus → sinar paralel).
Kasus B: \(s = 20{,}01\text{ cm}\) (geser 0,1 mm):
$$\frac{1}{s'} = \frac{1}{20} - \frac{1}{20{,}01} = \frac{20{,}01 - 20}{20 \times 20{,}01} = \frac{0{,}01}{400{,}2}$$ $$s' = \frac{400{,}2}{0{,}01} = 40.020\text{ cm} = 400{,}2\text{ m}$$Pergeseran benda 0,1 mm menyebabkan pergeseran bayangan ~400 m — faktor amplifikasi sekitar \(4 \times 10^6\)!
Perbesaran:
$$M = -\frac{s'}{s} = -\frac{40.020}{20{,}01} \approx -2000$$Bayangan terbalik, ukuran 2000× lipat benda. Artinya bila benda 1 mm, bayangannya 2 m pada jarak 400 m!
Sensitivitas di sekitar \(s = f\): Turunkan \(s'\) terhadap \(s\) dari \(1/s + 1/s' = 1/f\):
$$\frac{-1}{s^2} + \frac{-1}{s'^2} \cdot \frac{ds'}{ds} = 0$$ $$\frac{ds'}{ds} = -\frac{s'^2}{s^2} = -M^2$$Saat \(s \to f\), \(M \to \infty\) dan \(ds'/ds \to \infty\). Inilah penyebab sensitivitas tak terhingga. Di sekitar fokus, sistem menjadi amplifier pergeseran yang ekstrem — tetapi tidak stabil.
Geser ke arah lain: Jika benda di \(s = 19{,}99\text{ cm}\) (lebih dekat):
$$\frac{1}{s'} = \frac{1}{20} - \frac{1}{19{,}99} = -\frac{0{,}01}{399{,}8}$$ $$s' = -39.980\text{ cm} \approx -400\text{ m}$$Tanda negatif → bayangan maya (di belakang cermin), 400 m jauhnya. Perbesaran \(M = +2000\) (tegak). Perhatikan: beralih dari +∞ ke −∞ saat melintasi \(s = f\) — ini diskontinuitas singularitas.
Insight: Titik fokus adalah singularitas proyektif sistem optik. Derivatif \(ds'/ds = -M^2\) menunjukkan konfigurasi di sekitar fokus adalah amplifier optik — sedikit geseran benda ≈ geseran bayangan raksasa. Prinsip ini dipakai di: (1) autocollimator (akurasi sudut \(\mu\)rad), (2) microLED projector, (3) optical lever di galvanometer presisi. Kekurangan: sangat sensitif terhadap vibrasi dan thermal drift.
Percobaan Young menggunakan celah ganda terpisah \(d = 0{,}5\text{ mm}\), layar pada jarak \(L = 2\text{ m}\), dan cahaya \(\lambda = 600\text{ nm}\). Sebuah lembar kaca tipis berindeks bias \(n = 1{,}5\) dan ketebalan \(t = 12\text{ }\mu\text{m}\) diletakkan menutupi hanya celah \(S_1\) (celah atas).
| \(d\) | 0,5 mm |
| \(L\) | 2 m |
| \(\lambda\) | 600 nm |
| \(n\) (kaca) | 1,5 |
| \(t\) | 12 \(\mu\)m |
Banyak yang salah menulis selisih jalan sebagai \(n \cdot t\) atau \(t/n\). Yang benar: lembar kaca menggantikan panjang lintasan \(t\) di udara dengan panjang lintasan optik \(n \cdot t\), jadi selisih lintasan tambahan adalah \((n-1)t\) — bukan \(nt\). Kesalahan ini menghasilkan pergeseran yang salah 3×!
Selisih lintasan optik akibat lembar kaca di jalur \(S_1\): sinar \(S_1\) kini menempuh lintasan optik tambahan sebesar \((n-1)t\) dibanding tanpa kaca.
$$\Delta L_{\text{kaca}} = (n-1)t = (1{,}5 - 1)(12 \times 10^{-6}) = 0{,}5 \times 12 \times 10^{-6}$$ $$\Delta L_{\text{kaca}} = 6 \times 10^{-6}\text{ m} = 6\text{ }\mu\text{m}$$Syarat maksimum terang di titik \(y\) pada layar (tanpa kaca): \(d \sin\theta = m\lambda\), dengan \(\sin\theta \approx y/L\) untuk sudut kecil. Dengan kaca di \(S_1\), syaratnya berubah:
$$\frac{dy}{L} - (n-1)t = m\lambda$$Titik maksimum pusat (\(m=0\)) bergeser ke:
$$y_0 = \frac{L(n-1)t}{d}$$Substitusi nilai:
$$\Delta y = y_0 = \frac{2 \times 6 \times 10^{-6}}{0{,}5 \times 10^{-3}} = \frac{12 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-4}}$$ $$\Delta y = 2{,}4 \times 10^{-2}\text{ m} = 2{,}4\text{ cm} = 24\text{ mm}$$Arah pergeseran: Lembar kaca memperlambat sinar \(S_1\) (menambah fase), jadi titik fase sama (maksimum pusat) harus bergeser ke arah \(S_1\) — yakni ke atas (sisi celah yang tertutup kaca). Secara intuitif: supaya selisih lintasan optik tetap nol, sinar \(S_2\) harus berjalan lebih jauh — titik itu di atas garis pusat geometris.
Jumlah frinji yang "lewat" titik pusat: Jarak antar frinji \(\Delta y_{\text{frinji}} = \lambda L / d\):
$$\Delta y_{\text{frinji}} = \frac{600 \times 10^{-9} \times 2}{0{,}5 \times 10^{-3}} = 2{,}4 \times 10^{-3}\text{ m} = 2{,}4\text{ mm}$$Banyak frinji yang melewati titik pusat:
$$N = \frac{\Delta y}{\Delta y_{\text{frinji}}} = \frac{24}{2{,}4} = 10\text{ frinji}$$Cara cepat dan elegan: \(N = (n-1)t/\lambda = 6\text{ }\mu\text{m}/0{,}6\text{ }\mu\text{m} = 10\). Tanpa perlu tahu \(d\) atau \(L\)!
Interpretasi fisika \(N = 10\): Memasukkan lembar kaca memperpanjang lintasan optik \(S_1\) sebesar 10 panjang gelombang. Saat lembar kaca dimasukkan pelan-pelan (dari ketebalan 0 ke 12 μm), pengamat di titik pusat menyaksikan 10 pergantian "terang-gelap-terang" — inilah cara klasik mengukur \(n\) dari pengamatan frinji (metode Jamin interferometer).
Insight: Selisih lintasan optik \((n-1)t\) bukan \(nt\) — faktor "−1" itu krusial. Mengapa? Karena tanpa kaca, ruang sepanjang \(t\) sudah berisi udara yang memberi lintasan optik \(1 \cdot t\). Menempatkan kaca mengganti udara sepanjang \(t\), selisih tambahan adalah \(nt - 1 \cdot t = (n-1)t\). Logika "pengurangan rujukan" ini selalu muncul saat media diubah.
Lensa kamera dilapisi film MgF₂ \((n_2 = 1{,}38)\) di atas kaca \((n_3 = 1{,}50)\) untuk meredam pantulan cahaya hijau \(\lambda = 550\text{ nm}\) (anti-reflective coating). Udara \(n_1 = 1{,}00\).
| \(n_1\) (udara) | 1,00 |
| \(n_2\) (MgF₂) | 1,38 |
| \(n_3\) (kaca) | 1,50 |
| \(\lambda\) (di udara) | 550 nm |
(1) Lupa perubahan fase \(\pi\) saat pantul dari medium lebih rapat. (2) Menganggap selisih lintasan adalah \(t\) (padahal \(2t\), karena sinar bolak-balik). (3) Menggunakan \(\lambda\) udara (padahal harus \(\lambda\) di dalam lapisan, \(\lambda_2 = \lambda/n_2\)). Tiga kesalahan ini saling berdiri sendiri!
Analisis pergeseran fase saat pantul:
R₁ (udara → MgF₂, \(n_1 < n_2\)): pantul dari medium lebih rapat → pergeseran fase π.
R₂ (MgF₂ → kaca, \(n_2 < n_3\)): juga pantul dari medium lebih rapat → pergeseran fase π.
Karena keduanya sama-sama bergeser π, pergeseran fase relatif antara R₁ dan R₂ akibat pantulan adalah \(\pi - \pi = 0\). Tidak ada kontribusi ekstra dari refleksi!
Selisih lintasan optik sinar R₂ (yang bolak-balik lewat MgF₂):
$$\Delta L = 2n_2 t \quad\text{(optical path length, bukan } 2t!)$$Catatan: untuk insiden (hampir) tegak lurus, faktor cos θ ≈ 1 diabaikan.
Syarat interferensi destruktif (dengan pergeseran fase nol dari pantulan):
$$2n_2 t = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda, \quad m = 0, 1, 2, \ldots$$Untuk tebal minimum, ambil \(m = 0\):
$$2n_2 t_{\min} = \frac{\lambda}{2} \quad\Rightarrow\quad t_{\min} = \frac{\lambda}{4 n_2}$$Substitusi nilai:
$$t_{\min} = \frac{550 \times 10^{-9}}{4 \times 1{,}38} = \frac{550}{5{,}52}\text{ nm} \approx 99{,}6\text{ nm}$$Jadi \(t_{\min} \approx 100\text{ nm}\).
Mengapa BUKAN \(t = \lambda/4\) (125 nm)?
Jawaban 125 nm = \(550/4\) adalah aproksimasi "mnemonic quarter-wave" yang hanya benar jika panjang gelombang dihitung di udara. Yang benar: panjang gelombang di dalam lapisan adalah \(\lambda_2 = \lambda/n_2\), jadi "quarter-wave" sebenarnya adalah \(\lambda_2/4 = \lambda/(4n_2) \approx 100\text{ nm}\). Selisih 25% ini bisa menggagalkan anti-refleksi!
Syarat untuk anti-refleksi SEMPURNA (redaman total): Selain tebal optis \(\lambda/(4n_2)\), amplitudo pantulan juga harus sama agar R₁ dan R₂ saling meniadakan secara sempurna. Dengan koefisien refleksi Fresnel (insiden normal):
$$r_1 = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}, \quad r_2 = \frac{n_2 - n_3}{n_2 + n_3}$$Syarat amplitudo sama: \(|r_1| = |r_2| \Rightarrow n_2 = \sqrt{n_1 n_3} = \sqrt{1 \times 1{,}5} \approx 1{,}225\).
MgF₂ (\(n_2 = 1{,}38\)) tidak persis \(\sqrt{1{,}5}\), jadi pembatalan tidak total — hanya tereduksi (sisa refleksi ~1,3%). Tetap lebih baik dari kaca tanpa coating (~4%).
Insight: Coating anti-refleksi adalah aplikasi nyata interferensi destruktif — setiap lensa fotografi, kacamata, dan monitor modern memilikinya. Warna ungu/hijau pada lensa kamera bukan kebetulan: coating dioptimalkan untuk panjang gelombang tengah (\(\approx 550\) nm hijau-kuning yang paling peka untuk mata), sehingga panjang gelombang tepi (biru-violet dan merah) sedikit terpantul dan menghasilkan warna komplementer (ungu).
Percobaan celah ganda dengan setiap celah memiliki lebar \(a\) dan jarak antar pusat celah \(d\). Pola pada layar adalah interferensi termodulasi oleh difraksi — beberapa orde interferensi akan "hilang" ketika bertepatan dengan minimum difraksi.
| \(d\) (jarak celah) | 0,20 mm |
| \(a\) (lebar celah) | 0,05 mm |
| \(\lambda\) | 500 nm |
| \(L\) | 1,5 m |
Banyak siswa hanya melihat soal Young standar dan menghitung \(\Delta y = \lambda L/d\) tanpa sadar bahwa lebar celah \(a\) MENGUBAH POLA. Amplitudo frinji terang bukan konstan — ia dimodulasi selubung \(\text{sinc}^2(\pi a \sin\theta/\lambda)\). Di titik tertentu, orde interferensi yang mestinya terang justru bertepatan dengan minimum difraksi → intensitasnya nol!
Dua syarat yang berlaku bersamaan:
Maksimum interferensi (celah ganda): \(d \sin\theta = m\lambda\), \(m = 0, \pm1, \pm2, \ldots\)
Minimum difraksi (dari tiap celah): \(a \sin\theta = p\lambda\), \(p = \pm1, \pm2, \ldots\) (bukan 0!)
Orde \(m\) hilang jika kedua syarat bersamaan: \(m \lambda / d = p \lambda / a \Rightarrow m/p = d/a\).
Rasio \(d/a\):
$$\frac{d}{a} = \frac{0{,}20}{0{,}05} = 4$$Jadi \(m = 4p\). Orde yang hilang: \(m = \pm 4, \pm 8, \pm 12, \ldots\)
Alasan fisis: pada sudut tempat orde interferensi ke-4 seharusnya terang, tiap celah individu justru menghasilkan minimum difraksi pertama (\(p=1\)). Tidak ada intensitas untuk diinterferensikan!
Selubung pusat difraksi adalah daerah antara minimum pertama difraksi di kiri dan kanan (\(p = \pm 1\)):
$$\sin\theta_{\text{diff}} = \pm \frac{\lambda}{a}$$Posisi di layar: \(y = L \tan\theta \approx L \sin\theta\):
$$y_{\text{diff}} = \pm \frac{\lambda L}{a} = \pm \frac{500 \times 10^{-9} \times 1{,}5}{0{,}05 \times 10^{-3}} = \pm 1{,}5 \times 10^{-2}\text{ m} = \pm 15\text{ mm}$$Jarak antar frinji interferensi:
$$\Delta y = \frac{\lambda L}{d} = \frac{500 \times 10^{-9} \times 1{,}5}{0{,}20 \times 10^{-3}} = 3{,}75 \times 10^{-3}\text{ m} = 3{,}75\text{ mm}$$Jumlah frinji dalam selubung pusat: Selubung berukuran total \(2 \times 15 = 30\text{ mm}\). Orde interferensi yang muat:
$$m_{\max} = \frac{y_{\text{diff}}}{\Delta y} = \frac{15}{3{,}75} = 4$$Jadi orde \(m = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\) muat dalam selubung, dan orde \(m = \pm 4\) tepat di BATAS selubung — TAPI ORDE INI HILANG karena bertepatan dengan minimum difraksi pertama!
Jumlah frinji terang yang terlihat dalam selubung pusat:
• Pusat (m = 0): 1 frinji
• \(m = \pm 1, \pm 2, \pm 3\): 6 frinji
• \(m = \pm 4\): HILANG, 0 frinji
Total: 1 + 6 = 7 frinji terang dalam selubung pusat.
Rumus umum: Jika \(d/a = N\) (integer), maka jumlah frinji terang dalam selubung pusat adalah:
$$N_{\text{frinji}} = 2N - 1$$Cek: \(N = 4\) → \(N_{\text{frinji}} = 7\) ✓. Rumus ini valid untuk \(d/a\) integer. Jika non-integer, orde hilang tidak ada tepat di batas tapi frinji batas bisa sangat redup.
Insight: Fenomena "missing orders" adalah demonstrasi elegan bahwa celah ganda TIDAK bisa dimodelkan sebagai dua sumber titik sempurna. Lebar celah memberi struktur difraksi yang memodulasi intensitas — inilah fondasi teori Fourier optics: pola pada layar adalah transformasi Fourier dari fungsi aperture. Efek serupa muncul di X-ray crystallography (structure factor) dan desain antena array — "missing orders" di antena disebut grating lobes cancellation.
Sebuah mikroskop majemuk memiliki lensa objektif dengan \(f_{\text{ob}} = 2\text{ cm}\) dan okuler \(f_{\text{ok}} = 5\text{ cm}\). Panjang tabung (jarak antara kedua lensa) \(d = 25\text{ cm}\). Mikroskop diatur untuk mata tak berakomodasi (bayangan akhir di tak hingga). Titik dekat mata \(s_n = 25\text{ cm}\).
| \(f_{\text{ob}}\) | 2 cm |
| \(f_{\text{ok}}\) | 5 cm |
| \(d\) (jarak antar lensa) | 25 cm |
| \(s_n\) (titik dekat) | 25 cm |
Banyak yang hafal rumus \(M_{\text{tot}} = (s'_{\text{ob}}/s_{\text{ob}}) \cdot (s_n/f_{\text{ok}})\) tapi bingung nilai \(s'_{\text{ob}}\). Kunci yang terlewat: untuk mata tak berakomodasi, bayangan objektif HARUS berada tepat di fokus okuler. Jadi \(s'_{\text{ob}} = d - f_{\text{ok}}\), BUKAN \(s'_{\text{ob}} = d\). Kesalahan ini sering terjadi!
Kondisi mata tak berakomodasi: Okuler berfungsi seperti lup dengan benda tepat di fokus → sinar keluar okuler sejajar, bayangan akhir di \(\infty\). Jadi bayangan objektif harus di fokus okuler:
$$s'_{\text{ob}} = d - f_{\text{ok}} = 25 - 5 = 20\text{ cm}$$Cari letak benda objektif dengan persamaan lensa:
$$\frac{1}{s_{\text{ob}}} + \frac{1}{s'_{\text{ob}}} = \frac{1}{f_{\text{ob}}} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{s_{\text{ob}}} + \frac{1}{20} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{1}{s_{\text{ob}}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{20} = \frac{10 - 1}{20} = \frac{9}{20}$$ $$s_{\text{ob}} = \frac{20}{9}\text{ cm} \approx 2{,}22\text{ cm}$$Benda sedikit di luar fokus objektif (yang \(= 2\text{ cm}\)) — konsisten dengan prinsip mikroskop.
Perbesaran linier objektif:
$$M_{\text{ob}} = \frac{s'_{\text{ob}}}{s_{\text{ob}}} = \frac{20}{20/9} = 20 \cdot \frac{9}{20} = 9$$(Tanda minus diabaikan untuk nilai absolut perbesaran; bayangan tetap terbalik.)
Perbesaran okuler (sebagai lup tak berakomodasi):
$$M_{\text{ok}} = \frac{s_n}{f_{\text{ok}}} = \frac{25}{5} = 5$$Perbesaran total mikroskop:
$$M_{\text{tot}} = M_{\text{ob}} \times M_{\text{ok}} = 9 \times 5 = 45 \text{ kali}$$Verifikasi dengan rumus kompak (untuk mata tak berakomodasi):
$$M_{\text{tot}} = \frac{(d - f_{\text{ok}}) \cdot s_n}{f_{\text{ob}} \cdot f_{\text{ok}}}$$ $$M_{\text{tot}} = \frac{(25 - 5) \times 25}{2 \times 5} = \frac{20 \times 25}{10} = \frac{500}{10} = 50$$Hmm, beda dengan 45. Mana yang benar?
Reconciliasi: Rumus \(M_{\text{tot}} = (d-f_{\text{ok}})s_n/(f_{\text{ob}} f_{\text{ok}})\) adalah aproksimasi yang mengganti \(M_{\text{ob}} \approx s'_{\text{ob}}/f_{\text{ob}}\) (bukan \(s'_{\text{ob}}/s_{\text{ob}}\)). Valid hanya jika \(s_{\text{ob}} \approx f_{\text{ob}}\) — tidak eksak.
Aproksimasi: \(M_{\text{ob}} \approx 20/2 = 10\) → \(M_{\text{tot}} \approx 10 \times 5 = 50\).
Eksak: \(M_{\text{ob}} = 20/(20/9) = 9\) → \(M_{\text{tot}} = 9 \times 5 = 45\).
Selisih 11% — signifikan! Pada OSN, gunakan perhitungan eksak kecuali soal eksplisit meminta aproksimasi tabung panjang.
Insight: Rumus "panjang tabung" yang sering dihafal (\(M = L \cdot 25 / (f_{\text{ob}} f_{\text{ok}})\), dengan \(L = d - f_{\text{ob}} - f_{\text{ok}}\) atau \(d - f_{\text{ok}}\)) hanya valid pada limit \(s_{\text{ob}} \to f_{\text{ob}}\). Pada mikroskop riset profesional, panjang tabung distandarisasi (160 mm DIN atau infinity-corrected) agar aproksimasi ini akurat. Dalam soal OSN yang memberikan angka "bulat" seperti 25 cm, lebih aman menggunakan perhitungan lensa eksak dua-langkah.