Sepuluh soal OSN fisika modern dengan diagram interaktif, jebakan konsep, dan pembahasan super detail. Klik tombol untuk membuka pembahasan.
Cahaya dengan frekuensi tertentu mengenai permukaan logam natrium yang memiliki fungsi kerja \(\phi = 2{,}3\text{ eV}\). Energi tiap foton yang datang adalah \(hf = 5{,}1\text{ eV}\). Potensial penghenti (stopping potential) diukur dan ternyata lebih kecil dari yang diharapkan oleh siswa A yang menggunakan rumus \(eV_s = hf - \phi\).
Siswa B berpendapat bahwa elektron yang keluar bergerak dengan kecepatan sangat tinggi sehingga perlu koreksi relativistik pada energi kinetiknya.
| \(hf\) | 5,1 eV |
| \(\phi\) (Na) | 2,3 eV |
| \(m_e c^2\) | 0,511 MeV = 511 keV |
| \(e\) | 1,6 × 10⁻¹⁹ C |
Hampir semua peserta langsung menulis \(eV_s = hf - \phi\) dan selesai. Padahal soal menanyakan apakah koreksi relativistik perlu dipertimbangkan. Dengan \(E_k = 2{,}8\text{ eV}\) dan \(m_e c^2 = 511.000\text{ eV}\), rasionya \(\sim 5 \times 10^{-6}\) — koreksi relativistik benar-benar tidak signifikan! Jebakan ini menguji kemampuan estimasi order-of-magnitude, bukan kalkulasi panjang.
Non-relativistik: Energi kinetik maksimum elektron:
$$E_k = hf - \phi = 5{,}1 - 2{,}3 = 2{,}8\text{ eV}$$Stopping potential:
$$eV_s = E_k \quad\Rightarrow\quad V_s = 2{,}8\text{ V}$$Cek perlunya koreksi relativistik: Bandingkan \(E_k\) dengan energi diam elektron:
$$\frac{E_k}{m_e c^2} = \frac{2{,}8\text{ eV}}{511.000\text{ eV}} \approx 5{,}5 \times 10^{-6} \ll 1$$Karena rasio ini sangat jauh dari 1, elektron bergerak non-relativistik. Kecepatan elektron hanya \(\sim 0{,}003c\). Koreksi relativistik orde \((v/c)^2 \sim 10^{-5}\) — jauh di bawah presisi eksperimen manapun.
Hitung \(V_s\) relativistik secara formal (untuk membuktikan selisihnya kecil). Energi kinetik relativistik:
$$E_k = (\gamma - 1)m_e c^2 \quad\Rightarrow\quad \gamma = 1 + \frac{E_k}{m_e c^2} = 1 + \frac{2{,}8}{511.000}$$ $$\gamma \approx 1{,}00000548$$Kecepatan elektron:
$$\beta = \sqrt{1 - \gamma^{-2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{(1{,}00000548)^2}} \approx \sqrt{2 \times 5{,}48 \times 10^{-6}} \approx 0{,}00331$$ $$v \approx 0{,}00331\,c \approx 9{,}93 \times 10^5\text{ m/s}$$Stopping potential relativistik sama persis: \(eV_s = E_k\), karena \(V_s\) didefinisikan sebagai tegangan yang menghabiskan energi kinetik total, baik relativistik maupun tidak. Jadi:
$$V_s^{\text{rel}} = V_s^{\text{non-rel}} = 2{,}8\text{ V}$$Selisih numerik = 0 V (hingga presisi \(10^{-5}\) V). Rumus \(eV_s = hf - \phi\) sudah benar persis karena ini adalah pernyataan kekekalan energi, bukan persamaan gerak!
Insight: Stopping potential \(eV_s = hf - \phi\) adalah pernyataan kekekalan energi murni — valid relativistik maupun tidak! Yang berubah secara relativistik hanya hubungan \(E_k\) dengan \(v\), bukan dengan \(V_s\). Jebakan ini menguji apakah siswa paham fisika di balik rumus, bukan sekadar memasukkan angka.
Kembar A tinggal di Bumi. Kembar B berangkat dengan roket berkecepatan \(v = 0{,}6c\) menuju bintang yang berjarak \(L_0 = 6\text{ tahun cahaya}\) (diukur dari Bumi), lalu langsung kembali dengan kecepatan sama.
Selama perjalanan, kembar A mengirim sinyal radio 1 sinyal per tahun (menurut jam A). Kembar B menerima sinyal-sinyal tersebut.
| \(v\) | 0,6c |
| \(L_0\) | 6 tahun cahaya (frame Bumi) |
| \(\gamma\) | \(1/\sqrt{1-0{,}36} = 1{,}25\) |
Jebakan ganda: (1) Banyak siswa membagi sinyal rata \(10\text{ sinyal}/2 = 5\) untuk tiap fase. Salah! Karena efek Doppler relativistik berbeda saat menjauh vs mendekat. (2) Banyak siswa bingung "siapa yang lebih tua" — padahal B bukan frame inersia sepanjang perjalanan (ada akselerasi balik), sehingga paradoks kembar diselesaikan dengan jelas: B lebih muda.
Waktu perjalanan menurut Bumi (A):
$$t_A = \frac{2L_0}{v} = \frac{2 \times 6}{0{,}6} = 20\text{ tahun}$$Kembar A menua 20 tahun.
Waktu perjalanan menurut B (proper time):
$$\tau_B = \frac{t_A}{\gamma} = \frac{20}{1{,}25} = 16\text{ tahun}$$Kembar B menua 16 tahun. Kembar A lebih tua 4 tahun.
Total sinyal diterima B: A mengirim 1 sinyal/tahun selama 20 tahun → B menerima total 20 sinyal (kekekalan sinyal — tidak ada sinyal yang hilang di vakum).
Doppler relativistik saat B menjauh dari A:
$$f_{\text{terima}} = f_0\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} = 1 \times \sqrt{\frac{1-0{,}6}{1+0{,}6}} = \sqrt{\frac{0{,}4}{1{,}6}} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\text{ sinyal/tahun}$$Fase pergi berlangsung \(\tau_B^{\text{pergi}} = 8\text{ tahun}\) (simetri), sinyal diterima: \(0{,}5 \times 8 = 4\text{ sinyal}\).
Doppler relativistik saat B mendekati A:
$$f_{\text{terima}} = f_0\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} = \sqrt{\frac{1{,}6}{0{,}4}} = \sqrt{4} = 2\text{ sinyal/tahun}$$Fase kembali \(\tau_B^{\text{kembali}} = 8\text{ tahun}\), sinyal diterima: \(2 \times 8 = 16\text{ sinyal}\).
Cek: \(4 + 16 = 20\text{ sinyal}\) ✓ Konsisten dengan A mengirim 20 sinyal total.
Insight: Asimetri Doppler itulah yang membuat B bisa "menghitung" bahwa A lebih tua: saat kembali B menerima sinyal berlipat ganda. Efek Doppler relativistik secara konsisten menjelaskan paradoks kembar tanpa perlu bicara tentang akselerasi — cukup hitung sinyal yang diterima di setiap fase.
Ion helium terionisasi satu kali (\(\text{He}^+\), \(Z=2\)) memiliki spektrum mirip hidrogen tetapi dengan skala energi yang berbeda. Energi tingkat \(n\) untuk ion hydrogen-like dengan nomor atom \(Z\) adalah:
\(E_n = -13{,}6 \cdot Z^2 / n^2\) eV
Dua transisi terjadi secara bersamaan dalam sampel He⁺: elektron pada \(n=4\) turun ke \(n=2\), dan elektron lain pada \(n=3\) turun ke \(n=1\). Seorang siswa mengklaim bahwa foton dari transisi \(3\to1\) pada He⁺ identik dengan foton Lyman-alpha hidrogen (\(n=2\to1\), \(\lambda=121{,}6\text{ nm}\)).
| \(Z\) (He⁺) | 2 |
| \(hc\) | 1240 eV·nm |
| \(E_1\) (H) | −13,6 eV |
Klaim bahwa transisi \(3\to1\) pada He⁺ identik dengan Lyman-alpha H terlihat masuk akal karena "turun ke n=1" sama. Salah besar! Karena \(Z=2\) pada He⁺, semua energi dikali \(Z^2=4\). Foton yang dihasilkan jauh berbeda. Jebakan kedua: banyak siswa lupa bahwa transisi \(4\to2\) pada He⁺ sama strukturnya dengan \(2\to1\) H (sama \(\Delta(1/n^2)\)) tapi energinya dikali 4.
Energi tingkat He⁺ (\(Z=2\)):
$$E_n^{He^+} = -13{,}6 \cdot \frac{4}{n^2} = \frac{-54{,}4}{n^2}\text{ eV}$$Transisi 4→2 pada He⁺:
$$\Delta E_1 = E_4 - E_2 = -\frac{54{,}4}{16} - \left(-\frac{54{,}4}{4}\right) = -3{,}4 + 13{,}6 = 10{,}2\text{ eV}$$ $$\lambda_1 = \frac{hc}{\Delta E_1} = \frac{1240}{10{,}2} \approx 121{,}6\text{ nm}$$Menarik! Ini sama dengan panjang gelombang Lyman-alpha H. Mengapa? Karena \(\Delta(1/n^2)\) untuk transisi \(4\to2\) He⁺ sama dengan \(2\to1\) H, dan faktor \(Z^2\) pada He⁺ persis mengkompensasi... tidak, tunggu — perhatikan perhitungan Step 3!
Transisi 3→1 pada He⁺:
$$\Delta E_2 = E_3 - E_1 = -\frac{54{,}4}{9} - (-54{,}4) = -6{,}04 + 54{,}4 = 48{,}36\text{ eV}$$ $$\lambda_2 = \frac{1240}{48{,}36} \approx 25{,}6\text{ nm}$$Lyman-alpha H: \(\Delta E = 13{,}6 \times (1 - 1/4) = 10{,}2\text{ eV}\), \(\lambda = 121{,}6\text{ nm}\)
Evaluasi klaim: \(\lambda_2 = 25{,}6\text{ nm} \neq 121{,}6\text{ nm}\). Klaim SALAH. Foton He⁺ transisi \(3\to1\) berenergi 4,74× lebih besar dari Lyman-alpha H dan berada di daerah EUV (extreme ultraviolet), bukan UV biasa.
Yang kebetulan sama dengan Lyman-alpha H justru adalah transisi 4→2 He⁺ (\(\lambda_1 = 121{,}6\text{ nm}\)). Ini kebetulan matematis karena \(Z^2 \Delta(1/n^2)\) keduanya sama!
Insight: Kesamaan panjang gelombang He⁺ \(4\to2\) dengan Lyman-alpha H bukanlah kebetulan biasa — ini bisa dibuktikan secara umum: transisi \(2n\to n\) pada He⁺ sama dengan \(n\to (n/\sqrt{2})\)... menunjukkan adanya degenerasi matematis dalam formula Bohr. Sangat menarik untuk eksplorasi lebih lanjut!
Deret peluruhan: \(\text{A} \xrightarrow{\alpha} \text{B} \xrightarrow{\beta^-} \text{C (stabil)}\). Pada \(t=0\), hanya ada nuklida A murni sebanyak \(N_0 = 10^{20}\) atom. Waktu paruh: \(t_{1/2,A} = 10^6\text{ tahun}\), \(t_{1/2,B} = 100\text{ tahun}\).
Setelah waktu yang sangat lama (\(t \gg t_{1/2,B}\) tetapi \(t \ll t_{1/2,A}\)), sistem mencapai kesetimbangan sekuler.
| \(N_0\) | 10²⁰ atom |
| \(t_{1/2,A}\) | 10⁶ tahun |
| \(t_{1/2,B}\) | 100 tahun |
Jebakan OSN klasik: siswa mengira aktivitas total "tetap sama" karena A hampir tidak luruh. Salah! Saat kesetimbangan sekuler, aktivitas B sama dengan aktivitas A, sehingga aktivitas total menjadi dua kali aktivitas awal! Ini karena setiap peluruhan A menghasilkan satu B yang segera juga meluruh.
Konstanta peluruhan:
$$\lambda_A = \frac{\ln 2}{t_{1/2,A}} = \frac{0{,}693}{10^6\text{ yr}},\quad \lambda_B = \frac{\ln 2}{t_{1/2,B}} = \frac{0{,}693}{100\text{ yr}}$$ $$\frac{\lambda_B}{\lambda_A} = \frac{10^6}{100} = 10^4$$Kondisi kesetimbangan sekuler: laju produksi B = laju peluruhan B:
$$\lambda_A N_A = \lambda_B N_B \quad\Rightarrow\quad \frac{N_B}{N_A} = \frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{t_{1/2,B}}{t_{1/2,A}} = \frac{100}{10^6} = 10^{-4}$$Meskipun \(N_B \ll N_A\) (B jauh lebih sedikit), aktivitasnya sama karena B meluruh jauh lebih cepat.
Aktivitas awal (hanya A, pada \(t=0\)):
$$\mathcal{A}_0 = \lambda_A N_0 = \frac{0{,}693}{10^6} \times 10^{20} = 6{,}93 \times 10^{13}\text{ peluruhan/tahun}$$Konversi: \(\mathcal{A}_0 = 6{,}93 \times 10^{13} / (3{,}156 \times 10^7\text{ s/yr}) \approx 2{,}20 \times 10^6\text{ Bq} = 2{,}20\text{ MBq}\)
Pada \(t = 10^3\) tahun: karena \(t \gg t_{1/2,B} = 100\text{ yr}\) dan \(t \ll t_{1/2,A} = 10^6\text{ yr}\), sistem sudah mencapai kesetimbangan sekuler, dan \(N_A \approx N_0\).
$$\mathcal{A}_A \approx \mathcal{A}_0,\quad \mathcal{A}_B = \mathcal{A}_A$$ $$\mathcal{A}_{\text{total}} = \mathcal{A}_A + \mathcal{A}_B = 2\mathcal{A}_0 \approx 4{,}40\text{ MBq}$$Insight: Kesetimbangan sekuler penting dalam kedokteran nuklir: generator radionuklida memanfaatkan prinsip ini. Misalnya \(^{99}\text{Mo}/^{99m}\text{Tc}\) — Mo-99 (\(t_{1/2}=66\text{ hr}\)) terus mengisi Tc-99m (\(t_{1/2}=6\text{ hr}\)) hingga kesetimbangan, lalu Tc "diperah" untuk diagnosis. Aktivitas ganda adalah fitur, bukan bug!
Reaksi fisi: \({}^{235}\text{U} + n \to {}^{141}\text{Ba} + {}^{92}\text{Kr} + 3n\)
Seorang siswa menghitung energi yang dilepas dengan hanya membandingkan nomor massa (bukan massa atom aktual): \(235 + 1 = 141 + 92 + 3\), lalu menyimpulkan tidak ada defek massa sehingga energi yang dilepas adalah nol.
| \(m({}^{235}\text{U})\) | 235,0439 u |
| \(m({}^{141}\text{Ba})\) | 140,9144 u |
| \(m({}^{92}\text{Kr})\) | 91,9262 u |
| \(m(n)\) | 1,008665 u |
| 1 u | 931,5 MeV/c² |
Nomor massa memang konservatif (\(A\) kanan = \(A\) kiri). Tapi massa aktual atom tidak sama dengan nomor massa dikali 1 u! Massa aktual lebih kecil karena ada energi ikat nuklir. Nukleus pecahan (Ba, Kr) memiliki energi ikat per nukleon yang lebih besar dari U-235, sehingga massa aktualnya lebih ringan dari yang diprediksi nomor massa.
Total massa reaktan:
$$m_{\text{reaktan}} = m(^{235}\text{U}) + m(n) = 235{,}0439 + 1{,}008665 = 236{,}052565\text{ u}$$Total massa produk:
$$m_{\text{produk}} = m(^{141}\text{Ba}) + m(^{92}\text{Kr}) + 3m(n)$$ $$= 140{,}9144 + 91{,}9262 + 3 \times 1{,}008665$$ $$= 140{,}9144 + 91{,}9262 + 3{,}025995 = 235{,}866595\text{ u}$$Defek massa:
$$\Delta m = m_{\text{reaktan}} - m_{\text{produk}} = 236{,}052565 - 235{,}866595 = 0{,}18597\text{ u}$$Energi yang dilepaskan:
$$E = \Delta m \cdot c^2 = 0{,}18597\text{ u} \times 931{,}5\text{ MeV/u} \approx 173{,}3\text{ MeV}$$Sebagai perbandingan: reaksi kimia (seperti pembakaran) menghasilkan ~5 eV per molekul = ~0,000005 MeV. Fisi menghasilkan \(3{,}5 \times 10^7\) kali lebih banyak energi per reaksi!
Insight: Fisi melepaskan energi karena nukleus menengah (Ba, Kr) berada di puncak kurva energi ikat per nukleon (~8,5 MeV/nukleon), sedangkan U-235 hanya ~7,6 MeV/nukleon. Selisih \(\sim 0{,}9\text{ MeV/nukleon} \times 235 \approx 210\text{ MeV}\) — konsisten dengan perhitungan kita. Fisika nuklir modern dimulai dari pemahaman kurva energi ikat ini!
Berkas elektron dengan energi kinetik \(E_k = 54\text{ eV}\) mengenai celah tunggal dengan lebar \(a = 0{,}1\text{ nm}\). Percobaan Davisson-Germer klasik menggunakan energi serupa.
Siswa A menghitung panjang gelombang de Broglie menggunakan \(\lambda = h/p\) dengan \(p = mv\) dan \(E_k = \frac{1}{2}mv^2\). Siswa B menggunakan \(p = \sqrt{2mE_k}\) langsung.
| \(E_k\) | 54 eV = 54 × 1,6 × 10⁻¹⁹ J |
| \(m_e\) | 9,11 × 10⁻³¹ kg |
| \(h\) | 6,626 × 10⁻³⁴ J·s |
| \(a\) | 0,1 nm = 10⁻¹⁰ m |
Jebakan terletak di bagian c: banyak siswa mengira celah lebar \(a = 0{,}1\text{ nm} = 10^{-10}\text{ m}\) adalah "ketidakpastian posisi" Heisenberg, lalu menghitung \(\Delta p_y\) dan menyebutnya "momentum lateral". Sebenarnya mereka sudah benar, tapi salah dalam interpretasi: ketidakpastian Heisenberg bukan penyebab difraksi, melainkan deskripsi matematisnya. Difraksi dan Heisenberg adalah dua muka dari koin yang sama.
Momentum elektron:
$$p = \sqrt{2m_e E_k} = \sqrt{2 \times 9{,}11 \times 10^{-31} \times 54 \times 1{,}6 \times 10^{-19}}$$ $$= \sqrt{2 \times 9{,}11 \times 10^{-31} \times 8{,}64 \times 10^{-18}} = \sqrt{1{,}575 \times 10^{-47}}$$ $$= 3{,}969 \times 10^{-24}\text{ kg·m/s}$$Panjang gelombang de Broglie:
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{3{,}969 \times 10^{-24}} = 1{,}670 \times 10^{-10}\text{ m} \approx 0{,}167\text{ nm}$$Nilai ini sangat dekat dengan jarak antar atom dalam kristal (\(\sim 0{,}1{-}0{,}3\text{ nm}\)) — inilah mengapa elektron 54 eV digunakan dalam percobaan Davisson-Germer untuk mendemonstrasikan sifat gelombang elektron!
Sudut difraksi minimum pertama (minimum intensitas, \(a\sin\theta = \lambda\)):
$$\sin\theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{0{,}167\text{ nm}}{0{,}1\text{ nm}} = 1{,}67$$Karena \(\sin\theta > 1\), tidak ada minimum difraksi! Ini karena \(\lambda > a\) — gelombang terdifraksi ke semua arah, tidak membentuk pola minimum diskrit. Ini fisika yang sangat menarik!
Prinsip Ketidakpastian Heisenberg: Melewati celah lebar \(a\) berarti \(\Delta y \approx a\):
$$\Delta p_y \geq \frac{\hbar}{2\Delta y} = \frac{h}{4\pi a} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{4\pi \times 10^{-10}} \approx 5{,}27 \times 10^{-25}\text{ kg·m/s}$$Sudut penyebaran: \(\tan\theta \approx \Delta p_y / p = 5{,}27 \times 10^{-25} / 3{,}97 \times 10^{-24} \approx 0{,}133\) → \(\theta \approx 7{,}6°\). Sesuai dengan lebar pola difraksi!
Insight: Ketika \(\lambda > a\), kita berada di rezim difraksi total — gelombang tidak "melihat" celah sebagai rintangan dengan tepi, melainkan sebagai sumber titik. Prinsip Heisenberg dan difraksi gelombang adalah deskripsi yang setara: mengontrol posisi (\(\Delta y = a\)) berarti melepaskan kontrol atas momentum (\(\Delta p_y\)). Quantum mechanics dalam aksi nyata!
Proton dipercepat menembak inti \({}^7\text{Li}\) yang diam menghasilkan reaksi: \(p + {}^7\text{Li} \to {}^7\text{Be} + n\).
Ini adalah reaksi endotermik (\(Q < 0\)). Banyak siswa berpikir energi minimum proton yang diperlukan (ambang/threshold) sama dengan \(|Q|\). Ini salah! Karena kekekalan momentum, sebagian energi kinetik proton harus "tersimpan" sebagai energi kinetik pusat massa.
| \(m_p\) | 1,007825 u |
| \(m(^7\text{Li})\) | 7,016003 u |
| \(m(^7\text{Be})\) | 7,016929 u |
| \(m_n\) | 1,008665 u |
| 1 u | 931,5 MeV/c² |
Jebakan OSN nasional yang sangat khas: \(K_{\text{th}} \neq |Q|\). Untuk reaksi dengan target diam, energi ambang lebih besar dari \(|Q|\) karena saat threshold, semua produk bergerak bersama dengan kecepatan pusat massa — energi kinetik pusat massa tidak bisa digunakan untuk reaksi. Formula koreksi: \(K_{\text{th}} = |Q| \cdot (1 + m_p/m_{\text{Li}})\).
Nilai Q reaksi:
$$Q = (m_{\text{reaktan}} - m_{\text{produk}})c^2$$ $$= [(m_p + m_{\text{Li}}) - (m_{\text{Be}} + m_n)] \times 931{,}5\text{ MeV/u}$$ $$= [(1{,}007825 + 7{,}016003) - (7{,}016929 + 1{,}008665)] \times 931{,}5$$ $$= [8{,}023828 - 8{,}025594] \times 931{,}5 = -0{,}001766 \times 931{,}5$$ $$Q = -1{,}645\text{ MeV}$$Energi ambang dalam frame Lab (target Li diam). Rumus threshold:
$$K_{\text{th}} = |Q| \cdot \frac{m_p + m_{\text{Li}} + m_{\text{Be}} + m_n}{2m_{\text{Li}}}$$Derivasi: di ambang, semua produk diam di frame CM. Energi total di frame CM = \(\sqrt{s} = m_{\text{Be}} + m_n\) (dalam satuan c=1). Gunakan invariant \(s = (E_p + m_{\text{Li}})^2 - p_p^2 = (E_{\text{Be}} + m_n)^2\).
Mengapa \(K_{\text{th}} > |Q|\)?
Karena Li diam, saat proton masuk ada momentum total sistem \(p_{\text{total}} = p_p \neq 0\). Untuk memenuhi kekekalan momentum, produk reaksi tidak bisa semua diam. Sebagian \(K_{\text{th}}\) "terbuang" menjadi energi kinetik pusat massa yang tidak dapat dikonversi. Rasio: \(K_{\text{th}}/|Q| = 1 + m_p/m_{\text{Li}} \approx 1 + 1/7 \approx 1{,}14\).
Insight: Konsep ini kritis dalam fisika akselerator partikel: untuk mendapatkan reaksi tertentu, akselerator harus memberikan energi lebih dari sekadar \(|Q|\). Inilah mengapa collider (tumbukan balok-balok) jauh lebih efisien daripada fixed-target: di collider, frame Lab = frame CM, sehingga \(K_{\text{th}} = |Q|\) tepat tanpa "pemborosan".
Foton sinar-X dengan panjang gelombang \(\lambda_0 = 0{,}024\text{ Å} = 2{,}4 \times 10^{-12}\text{ m}\) mengenai elektron bebas yang diam. Foton dihambur pada sudut \(\theta = 90°\).
Perhatikan bahwa \(\lambda_0\) sangat dekat dengan panjang gelombang Compton elektron \(\lambda_C = h/(m_e c) = 0{,}0243\text{ Å}\). Siswa berpendapat bahwa karena \(\lambda_0 \approx \lambda_C\), energi kinetik elektron setelah tumbukan harus sangat besar — hampir "menyamai" energi foton awal.
| \(\lambda_0\) | 0,024 Å |
| \(\lambda_C\) | 0,0243 Å |
| \(m_e c^2\) | 0,511 MeV |
| \(hc\) | 12400 eV·Å |
Klaim bahwa \(\lambda_0 \approx \lambda_C\) menyebabkan transfer energi maksimum adalah salah konsep. Pergeseran Compton \(\Delta\lambda = \lambda_C(1-\cos\theta)\) tidak bergantung sama sekali pada \(\lambda_0\)! Nilai \(\lambda_0\) yang kecil justru berarti foton berenergi sangat tinggi, dan transfer energi (dalam persen) menjadi besar — tapi bukan "hampir 100%".
Pergeseran Compton pada \(\theta = 90°\):
$$\Delta\lambda = \lambda_C(1 - \cos 90°) = \lambda_C(1 - 0) = \lambda_C = 0{,}0243\text{ Å}$$ $$\lambda' = \lambda_0 + \Delta\lambda = 0{,}024 + 0{,}0243 = 0{,}0483\text{ Å}$$Energi foton awal dan akhir:
$$E_0 = \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{12400\text{ eV·Å}}{0{,}024\text{ Å}} = 516.667\text{ eV} \approx 0{,}517\text{ MeV}$$ $$E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{12400}{0{,}0483} \approx 256.728\text{ eV} \approx 0{,}257\text{ MeV}$$Energi kinetik elektron (kekekalan energi):
$$E_k = E_0 - E' = 516.667 - 256.728 \approx 259.939\text{ eV} \approx 0{,}260\text{ MeV}$$Persentase transfer energi: \(E_k/E_0 = 260/517 \approx 50{,}3\%\). Signifikan tapi jauh dari "hampir 100%".
Sudut elektron mundur \(\phi\) (dari kekekalan momentum):
$$\tan\phi = \frac{p_y}{p_x}: \quad p_y = \frac{E'}{c} (\text{dari foton, ke atas}) \quad p_x = \frac{E_0}{c}$$ $$p_{e,y} = -p'_y = -\frac{E'}{c} = -\frac{0{,}257}{c}$$ $$p_{e,x} = p_0 - 0 = \frac{E_0}{c} = \frac{0{,}517}{c}$$ $$\tan\phi = \frac{E'}{E_0} = \frac{256.728}{516.667} = 0{,}4968 \quad\Rightarrow\quad \phi = 26{,}4°$$Elektron bergerak 26,4° di bawah arah datang foton awal.
Insight: \(\Delta\lambda\) Compton selalu sama untuk sudut yang sama, tanpa memandang \(\lambda_0\). Tapi \(\Delta E/E_0 = \Delta\lambda/\lambda_0\) bergantung pada rasio. Untuk sinar-X keras (\(\lambda_0 \sim \lambda_C\)), hambur Compton memindahkan ~50% energi. Untuk cahaya tampak (\(\lambda_0 \gg \lambda_C\)), efek Compton tidak terdeteksi — inilah mengapa efek Compton ditemukan dengan sinar-X, bukan cahaya tampak!
Sebuah jam atom yang sangat akurat berada di permukaan Bumi (Jam A, \(h=0\)) dan jam identik lainnya berada di ketinggian \(h = 10\text{ km}\) (Jam B). Menurut relativitas umum, jam di gravitasi lemah berdetak lebih cepat.
Persamaan redshift gravitasional: \(\frac{\Delta f}{f} \approx \frac{gh}{c^2}\)
| \(g\) | 9,8 m/s² |
| \(h\) | 10 km = 10⁴ m |
| \(c\) | 3 × 10⁸ m/s |
| 1 hari | 86.400 s |
Dua jebakan sekaligus: (1) Siswa sering bingung "siapa yang lebih cepat" — jam di gravitasi rendah (lebih jauh dari Bumi) berdetak lebih cepat, bukan lebih lambat. (2) Banyak yang mengira efek ini terlalu kecil untuk praktis. Nyatanya, efek gravitasi GR pada GPS satelit (+45,9 μs/hari) jauh mendominasi efek SR (−7,2 μs/hari), dan tanpa koreksi, GPS error >10 km dalam sehari!
Fraksi perbedaan frekuensi:
$$\frac{\Delta f}{f} = \frac{gh}{c^2} = \frac{9{,}8 \times 10^4}{(3 \times 10^8)^2} = \frac{9{,}8 \times 10^4}{9 \times 10^{16}}$$ $$= 1{,}089 \times 10^{-12} \approx 1{,}09 \times 10^{-12}$$Selisih waktu dalam 1 hari:
$$\Delta t = \frac{\Delta f}{f} \times t = 1{,}089 \times 10^{-12} \times 86.400\text{ s}$$ $$= 9{,}41 \times 10^{-8}\text{ s} = 94{,}1\text{ ns per hari}$$Arah efek: Jam B (di \(h = 10\text{ km}\)) berada dalam medan gravitasi yang lebih lemah. Menurut prinsip ekuivalensi GR, jam di potensial gravitasi tinggi (lebih jauh dari pusat massa) berdetak lebih cepat. Jadi Jam B lebih cepat dari Jam A sebesar ~94 ns/hari.
Implikasi GPS: Satelit GPS di ketinggian 20.200 km. Kecepatan cahaya = \(3 \times 10^8\text{ m/s}\). Kesalahan posisi per μs kesalahan waktu: \(\Delta x = c \cdot \Delta t = 300\text{ m/μs}\). Untuk GPS satelit, koreksi GR netto ~38,7 μs/hari:
$$\Delta x_{\text{error}} = 3 \times 10^8 \times 38{,}7 \times 10^{-6} \approx 11.610\text{ m} \approx 11{,}6\text{ km/hari}$$Tanpa koreksi relativitas, dalam satu hari saja GPS akan error >10 km! Relativitas bukan teori abstrak — ini rekayasa yang dikalibrasi setiap hari.
Insight: GPS adalah teknologi sehari-hari yang tidak berfungsi tanpa relativitas umum. Para insinyur GPS awalnya skeptis apakah perlu memasukkan koreksi relativistik. Mereka memutuskan memasangnya sebagai "fitur yang bisa dimatikan". Segera setelah satelit pertama diluncurkan tanpa koreksi aktif, jam mulai bergeser sesuai prediksi Einstein persis ke arah yang diprediksi. Koreksi dinyalakan dan tidak pernah dimatikan lagi.
Bagian A: Dua foton bergerak berlawanan arah bertabrakan dan menghasilkan pasangan elektron-positron: \(\gamma + \gamma \to e^- + e^+\). Banyak siswa berpendapat energi minimum tiap foton adalah \(m_e c^2 = 0{,}511\text{ MeV}\). Apakah ini benar?
Bagian B: Positron dengan energi kinetik \(K = 2m_e c^2\) bertumbukan dengan elektron diam dan mengalami annihilasi: \(e^+ + e^- \to \gamma_1 + \gamma_2\). Kedua foton keluar tidak harus simetri.
| \(m_e c^2\) | 0,511 MeV |
Bagian A: Klaim \(E_\gamma \geq m_e c^2\) adalah jebakan. Jawaban benar: \(E_\gamma \geq m_e c^2 = 0{,}511\text{ MeV}\) memang benar — tapi hanya untuk kasus foton identik berlawanan arah. Jika satu foton sangat berenergi tinggi dan lainnya rendah, syaratnya berbeda! Bagian B: Kedua foton setelah annihilasi tidak harus identik jika ada momentum net. Jebakan: menganggap kedua foton selalu 0,511 MeV.
Bagian A — Menggunakan invariant Lorentz: Untuk \(\gamma + \gamma \to e^- + e^+\), invariant \(s = (p_1 + p_2)^2 c^2\). Untuk foton identik berlawanan arah dengan energi \(E\):
$$s = (E + E)^2/c^2 - (p - p)^2 c^2 = 4E^2/c^2$$Syarat threshold: \(\sqrt{s} = 2m_e c^2\), maka \(4E^2/c^2 = 4m_e^2 c^4/c^2\):
$$E_{\min} = m_e c^2 = 0{,}511\text{ MeV}$$Jadi klaim siswa kebetulan benar untuk kasus khusus foton identik berlawanan arah! Tapi jika foton tidak identik, maka \(E_1 E_2 (1 - \cos\theta) \geq (m_e c^2)^2\). Ini lebih umum.
Bagian B — Energi total sebelum annihilasi:
$$E_{\text{total}} = E_{e^+} + E_{e^-} = (K + m_e c^2) + m_e c^2 = (2m_e c^2 + m_e c^2) + m_e c^2 = 4m_e c^2$$ $$E_{\text{total}} = 4 \times 0{,}511 = 2{,}044\text{ MeV}$$Momentum total sebelum annihilasi:
$$p_{\text{total}} = p_{e^+} + 0 = p_{e^+}$$Energi total positron: \(E_{e^+} = K + m_e c^2 = 3m_e c^2 = 1{,}533\text{ MeV}\)
$$p_{e^+} c = \sqrt{E_{e^+}^2 - (m_e c^2)^2} = \sqrt{(3m_e c^2)^2 - (m_e c^2)^2} = m_e c^2\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\,m_e c^2$$ $$p_{\text{total}} c = 2\sqrt{2} \times 0{,}511 \approx 1{,}446\text{ MeV}$$Kekekalan energi dan momentum (foton ke depan \(+\) dan belakang \(-\)):
$$E_1 + E_2 = 2{,}044\text{ MeV} \quad\text{(kekekalan energi)}$$ $$E_1 - E_2 = p_{\text{total}} c = 1{,}446\text{ MeV} \quad\text{(kekekalan momentum, keduanya foton)}$$ $$E_1 = \frac{2{,}044 + 1{,}446}{2} = \frac{3{,}490}{2} = 1{,}745\text{ MeV}$$ $$E_2 = \frac{2{,}044 - 1{,}446}{2} = \frac{0{,}598}{2} = 0{,}299\text{ MeV}$$Foton ke depan (\(\gamma_1\)) jauh lebih energetik (\(3{,}41 \times m_e c^2\)) dibanding foton ke belakang (\(\gamma_2\), hanya \(0{,}585 \times m_e c^2\)). Tidak simetri sama sekali!
Insight: Annihilasi yang digunakan dalam PET scan (Positron Emission Tomography) justru mengandalkan kasus sederhana: positron yang hampir diam bertumbukan dengan elektron diam → dua foton 511 keV yang nyaris berlawanan arah (simetri). Dari ketidaksimetrian kecil arah kedua foton itu, dokter bisa merekonstruksi posisi sumber dengan akurasi mm. Fisika modern sungguh ada di dalam mesin MRI rumah sakit!